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수학:수열 [2015/08/21 23:29]
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수학:수열 [2017/10/30 20:00] (현재)
garambit
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 ==== 등비수열 ==== ==== 등비수열 ====
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-{{ :​수학:​geometric_progression_fujimiya.jpg?​100|}} 
  
 첫째항에 차례대로 일정한 수를 곱하여(나누어서) 만들어진 수열을 **등비수열(等比數列,​ geometric sequence)**이라고 한다. 이때, 일정한 수를 **공비(共比,​ common ratio)**라고 하며, 일반적으로 등비수열에서 미지수 n은 n번째 항임을, 상수 r은 공비를 의미한다. 공비는 r=a<​sub>​n+1</​sub>​÷a<​sub>​n</​sub>​과 같이 이웃한 두 항의 비율을 통해 구할 수 있다. 또한 이 식을 변형하면 a<​sub>​n+1</​sub>​=ra<​sub>​n</​sub>​과 같이 이웃한 두 항 사이의 관계식을 세울 수 있다. 물론 등차수열과 마찬가지로 역 또한 성립하며,​ 등차수열에서 그랬듯이 모든 종류의 수열에서 자연수 이외의 수는 n이 될 수 없다. 첫째항에 차례대로 일정한 수를 곱하여(나누어서) 만들어진 수열을 **등비수열(等比數列,​ geometric sequence)**이라고 한다. 이때, 일정한 수를 **공비(共比,​ common ratio)**라고 하며, 일반적으로 등비수열에서 미지수 n은 n번째 항임을, 상수 r은 공비를 의미한다. 공비는 r=a<​sub>​n+1</​sub>​÷a<​sub>​n</​sub>​과 같이 이웃한 두 항의 비율을 통해 구할 수 있다. 또한 이 식을 변형하면 a<​sub>​n+1</​sub>​=ra<​sub>​n</​sub>​과 같이 이웃한 두 항 사이의 관계식을 세울 수 있다. 물론 등차수열과 마찬가지로 역 또한 성립하며,​ 등차수열에서 그랬듯이 모든 종류의 수열에서 자연수 이외의 수는 n이 될 수 없다.
  
-첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항은 a<​sub>​n</​sub>​=ar<​sup>​n-1</​sup>​이다. 이때, r≠0일 때, r<​sup>​0</​sup>​=1로 정의한다. 따라서 n=1일 때 즉, 첫째항에서 a<​sub>​1</​sub>​=ar<​sup>​1-1</​sup>​=ar<​sup>​0</​sup>​=a⋅1=a이다. 사실, 수학2에서 지수의 범위를 자연수에서 정수로 확장하는 것은 //3) 수열//의 다음 단원인 //4) 지수와 로그//​에서 배우기 때문에, r<​sup>​0</​sup>​=1임을 모르는 상태에서는 다음과 같은 의문을 품을 수도 있을 듯 하다. 첫째항과 공비가 0이 아닌 등비수열에서 0이 되는 항은 존재할까?​ 결론적부터 말하자면 존재하지 않는다. 도형의 방정식 즉, 해석기하학적인 관점에서 이를 증명해보자. 공비가 2인 등비수열을 수직선 상에 나타낸다면 a<​sub>​n-1</​sub>​은 원점과 a<​sub>​n</​sub>​의 1:1 내분점이며,​ a<​sub>​n+1</​sub>​은 원점과 a<​sub>​n</​sub>​의 2:1 외분점으로 볼 수 있다.((반대로 a<​sub>​n</​sub>​을 원점과 a<​sub>​n+1</​sub>​의 1:1 내분점이라고 해석할 수도 있다.)) 이때 내분점과 외분점의 공식에 의하여 분모는 0이 될 수 없으므로,​ a≠0 그리고 r≠0일 때, 어떠한 항도 0이 될 수 없다. 오른쪽에 게시된 만화의 내용과 같이, 3을 2로 계속해서 나누거나 1/2을 계속해서 곱하더라도 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, …와 같이 계속해서 작아지기는 하지만 결코 0에 도달하지는 않는다고 이해하면 되겠다.((게시된 만화의 이름은 //​일주일간 친구//​이다. 사실 이 글은 만화에 언급된 등비수열의 성질을 내분점의 성질과 연관 지어 설명할 수 있겠다는 발상으로 쓰기 시작했다.))+첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항은 a<​sub>​n</​sub>​=ar<​sup>​n-1</​sup>​이다. 이때, r≠0일 때, r<​sup>​0</​sup>​=1로 정의한다. 따라서 n=1일 때 즉, 첫째항에서 a<​sub>​1</​sub>​=ar<​sup>​1-1</​sup>​=ar<​sup>​0</​sup>​=a⋅1=a이다. 사실, 수학2에서 지수의 범위를 자연수에서 정수로 확장하는 것은 //3) 수열//의 다음 단원인 //4) 지수와 로그//​에서 배우기 때문에, r<​sup>​0</​sup>​=1임을 모르는 상태에서는 다음과 같은 의문을 품을 수도 있을 듯 하다. 첫째항과 공비가 0이 아닌 등비수열에서 0이 되는 항은 존재할까?​ 결론적부터 말하자면 존재하지 않는다. 도형의 방정식 즉, 해석기하학적인 관점에서 이를 증명해보자. 공비가 2인 등비수열을 수직선 상에 나타낸다면 a<​sub>​n-1</​sub>​은 원점과 a<​sub>​n</​sub>​의 1:1 내분점이며,​ a<​sub>​n+1</​sub>​은 원점과 a<​sub>​n</​sub>​의 2:1 외분점으로 볼 수 있다.((반대로 a<​sub>​n</​sub>​을 원점과 a<​sub>​n+1</​sub>​의 1:1 내분점이라고 해석할 수도 있다.)) 이때 내분점과 외분점의 공식에 의하여 분모는 0이 될 수 없으므로,​ a≠0 그리고 r≠0일 때, 어떠한 항도 0이 될 수 없다. 오른쪽에 게시된 만화의 내용과 같이, 3을 2로 계속해서 나누거나 1/2을 계속해서 곱하더라도 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, …와 같이 계속해서 작아지기는 하지만 결코 0에 도달하지는 않는다고 이해하면 되겠다.
  
 등비수열이 실생활에 활용되는 사례로는 은행에 돈을 예금했을 때 받는 이자, 스마트폰을 할부로 구매했을 때 내야 하는 상환금 등이 있다. 요컨대 경제학적인 측면에서 등비수열이 활용된다는 것인데, 이처럼 은행에 돈을 예금하고 일정 시간이 지나면 이자가 붙는 이유는 시간이 지날수록 돈의 가치가 낮아지기 때문이다. 최근 몇 년만 보더라도 조금씩 가격이 올라가는 과자나 아이스크림 등만 보더라도 이를 확인할 수 있다. 과거에는 500원 동전 하나만으로도 충분히 살 수 있었지만,​ 지금은 물가가 오른 탓에 500원짜리 동전으로 할 수 있는 것이 많이 줄어들게 되었다. 이러한 관점에서 시간이 지날수록 물가가 오르고, 돈의 가치가 낮아지므로 그에 대한 이자를 받게 되는 것이다. 이러한 은행의 이자를 정하는 방법으로는 원금에 대해서만 이자가 붙는 **단리법**과 원금 외에 이자에도 이자가 붙는 **복리법**이 있으며, 현재는 복리법만이 실제로 사용되고 있다.((숨마쿰라우데 수학2 참고)) 한편 원금과 이자를 합한 금액을 **원리합계**라고 일컫는다. 이때 단리법으로 계산한 원리합계는 일정한 기간마다 일정한 금액이 증가하는 등차수열이며,​ 복리법으로 계산한 원리합계는 일정한 기간마다 일정한 비율로 증가하는 등비수열이다. 등비수열이 실생활에 활용되는 사례로는 은행에 돈을 예금했을 때 받는 이자, 스마트폰을 할부로 구매했을 때 내야 하는 상환금 등이 있다. 요컨대 경제학적인 측면에서 등비수열이 활용된다는 것인데, 이처럼 은행에 돈을 예금하고 일정 시간이 지나면 이자가 붙는 이유는 시간이 지날수록 돈의 가치가 낮아지기 때문이다. 최근 몇 년만 보더라도 조금씩 가격이 올라가는 과자나 아이스크림 등만 보더라도 이를 확인할 수 있다. 과거에는 500원 동전 하나만으로도 충분히 살 수 있었지만,​ 지금은 물가가 오른 탓에 500원짜리 동전으로 할 수 있는 것이 많이 줄어들게 되었다. 이러한 관점에서 시간이 지날수록 물가가 오르고, 돈의 가치가 낮아지므로 그에 대한 이자를 받게 되는 것이다. 이러한 은행의 이자를 정하는 방법으로는 원금에 대해서만 이자가 붙는 **단리법**과 원금 외에 이자에도 이자가 붙는 **복리법**이 있으며, 현재는 복리법만이 실제로 사용되고 있다.((숨마쿰라우데 수학2 참고)) 한편 원금과 이자를 합한 금액을 **원리합계**라고 일컫는다. 이때 단리법으로 계산한 원리합계는 일정한 기간마다 일정한 금액이 증가하는 등차수열이며,​ 복리법으로 계산한 원리합계는 일정한 기간마다 일정한 비율로 증가하는 등비수열이다.