수열

정의와 성질

수열과 항

(일정한 규칙을 지닌)1) 를 나한 것을 수열이라 하며, 수열을 이루는 각 수를 그 수열의 이라고 한다. 각 항은 수열 내에서 나열되는 순서에 따라 a1, a2, a3, …, an-1, an, an+1, …2)와 같이 나타내며, 각각 제1항, 제2항, 제3항, …,제n-1항, 제n항, 제n+1항, …이라고 일컫는다.3) 예를 들어 수열 1, 2, 4, 8, 16, …에서 제3항은 수열에서 세 번째로 나열된 4이며, 마찬가지로 제4항은 8이다. 인터넷에 떠도는 '주어진 숫자들 다음으로 올 숫자는 무엇인가?' 하는 내용의 짤방들을 생각한다면 수열의 의미를 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

일반항

이때, 수열 중 일정한 규칙을 지닌 수열의 경우 그 규칙을 n에 대한 수식으로 표현한다면 n에 1, 2, 3, …을 각각 대입하여 그 수열의 모든 항을 구할 수 있으며, 그 수열의 규칙과 특징을 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 이를 위해 그 수열의 각 항을 일반적으로 나타내는 제n항 an을 그 수열의 일반항으로 이용하며, 일반항이 an인 수열을 {an}로 나타낸다. 예를 들어 수열 {an}의 일반항이 an=2n-1일 때, n에 자연수를4) 차례대로 대입하면 a1=1, a2=3, a3=5, a4=7, a5=9, …와 같이 주어진 수열에서 원하는 항을 쉽고 빠르게 구할 수 있다. 5)

수열의 종류

등차수열

첫째항에 차례대로 일정한 수를 더하여(빼서) 만들어진 수열을 등차수열(等差數列, arithmetic sequence)이라고 한다. 이때, 일정한 수를 공차(共差, common difference)라고 하며, 일반적으로 등차수열에서 미지수 n은 n번째 항임을, 상수 d는 공차를 의미한다. 공차는 d=an+1-an과 같이 이웃한 두 항의 차를 통해 구할 수 있다. 또한 이 식을 변형하면 an+1=an+d와 같이 이웃한 두 항 사이의 관계식을 세울 수 있으며, 역으로 이 관계식이 성립하는 수열 {an}은 등차수열이다. 물론, n=1, 2, 3, …에서 알 수 있듯이, 자연수 이외의 수는 n이 될 수 없다.

등비수열

첫째항에 차례대로 일정한 수를 곱하여(나누어서) 만들어진 수열을 등비수열(等比數列, geometric sequence)이라고 한다. 이때, 일정한 수를 공비(共比, common ratio)라고 하며, 일반적으로 등비수열에서 미지수 n은 n번째 항임을, 상수 r은 공비를 의미한다. 공비는 r=an+1÷an과 같이 이웃한 두 항의 비율을 통해 구할 수 있다. 또한 이 식을 변형하면 an+1=ran과 같이 이웃한 두 항 사이의 관계식을 세울 수 있다. 물론 등차수열과 마찬가지로 역 또한 성립하며, 등차수열에서 그랬듯이 모든 종류의 수열에서 자연수 이외의 수는 n이 될 수 없다.

첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항은 an=arn-1이다. 이때, r≠0일 때, r0=1로 정의한다. 따라서 n=1일 때 즉, 첫째항에서 a1=ar1-1=ar0=a⋅1=a이다. 사실, 수학2에서 지수의 범위를 자연수에서 정수로 확장하는 것은 3) 수열의 다음 단원인 4) 지수와 로그에서 배우기 때문에, r0=1임을 모르는 상태에서는 다음과 같은 의문을 품을 수도 있을 듯 하다. 첫째항과 공비가 0이 아닌 등비수열에서 0이 되는 항은 존재할까? 결론적부터 말하자면 존재하지 않는다. 도형의 방정식 즉, 해석기하학적인 관점에서 이를 증명해보자. 공비가 2인 등비수열을 수직선 상에 나타낸다면 an-1은 원점과 an의 1:1 내분점이며, an+1은 원점과 an의 2:1 외분점으로 볼 수 있다.6) 이때 내분점과 외분점의 공식에 의하여 분모는 0이 될 수 없으므로, a≠0 그리고 r≠0일 때, 어떠한 항도 0이 될 수 없다. 오른쪽에 게시된 만화의 내용과 같이, 3을 2로 계속해서 나누거나 1/2을 계속해서 곱하더라도 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, …와 같이 계속해서 작아지기는 하지만 결코 0에 도달하지는 않는다고 이해하면 되겠다.

등비수열이 실생활에 활용되는 사례로는 은행에 돈을 예금했을 때 받는 이자, 스마트폰을 할부로 구매했을 때 내야 하는 상환금 등이 있다. 요컨대 경제학적인 측면에서 등비수열이 활용된다는 것인데, 이처럼 은행에 돈을 예금하고 일정 시간이 지나면 이자가 붙는 이유는 시간이 지날수록 돈의 가치가 낮아지기 때문이다. 최근 몇 년만 보더라도 조금씩 가격이 올라가는 과자나 아이스크림 등만 보더라도 이를 확인할 수 있다. 과거에는 500원 동전 하나만으로도 충분히 살 수 있었지만, 지금은 물가가 오른 탓에 500원짜리 동전으로 할 수 있는 것이 많이 줄어들게 되었다. 이러한 관점에서 시간이 지날수록 물가가 오르고, 돈의 가치가 낮아지므로 그에 대한 이자를 받게 되는 것이다. 이러한 은행의 이자를 정하는 방법으로는 원금에 대해서만 이자가 붙는 단리법과 원금 외에 이자에도 이자가 붙는 복리법이 있으며, 현재는 복리법만이 실제로 사용되고 있다.7) 한편 원금과 이자를 합한 금액을 원리합계라고 일컫는다. 이때 단리법으로 계산한 원리합계는 일정한 기간마다 일정한 금액이 증가하는 등차수열이며, 복리법으로 계산한 원리합계는 일정한 기간마다 일정한 비율로 증가하는 등비수열이다.

조화수열

1)
반드시 일정한 규칙을 지니지 않더라도, 수가 나열되어 있다면 수열로 간주한다.
2)
특별히 수열의 길이를 제한할 경우 이를 유한수열이라고 하며, 마지막 항을 끝항이라고 한다. 반면 필자가 예시로 제시한 수열과 수열의 길이가 무한한 수열을 무한수열이라고 하며, n은 모든 자연수이다.
3)
제n항이 n번째로 나열되는 항을 의미하듯이, 미지수 n은 몇 번째로 나열되는 항인지를 나타낸다.
4)
1, 2, 3, 4, 5, …를
5)
일반항은 n에 대한 일차식 뿐만 아니라 n에 대한 이차식 또는 an=10n과 같이 n이 지수로 들어간 식, 심지어는 an=10과 같이 상수로도 표현될 수 있다. 이때 일반항이 상수로 표현되는 수열은 모든 정의역에 대한 함숫값이 상수인 함수로도 생각할 수 있다.
6)
반대로 an을 원점과 an+1의 1:1 내분점이라고 해석할 수도 있다.
7)
숨마쿰라우데 수학2 참고