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수학:무리수 [2015/01/12 01:05]
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수학:무리수 [2015/08/21 23:29] (현재)
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 ===== 발견 ===== ===== 발견 =====
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 +==== 피타고라스의 정리 ====
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 고대 그리스의 피타고라스 학파인 히파소스는 [[피타고라스의 정리]]를 연구하던 중 무리수를 발견하였다. 직각삼각형에서는 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 피타고라스의 정리가 성립한다. 이러한 수 중에는 3:4:5, 5:12:13, 7:24:25, 8:15:17과 같이 세 변의 길이가 모두 자연수로만 나오는 경우도 있다. 이를 [[피타고라스 수]]라고 부른다. 하지만 피타고라스의 정리 또한 어떻게 보면 [[함수|수상자]]가 아닌가? 수상자를 거쳐 나오는 숫자가 꼭 [[자연수]]일 필요는 없다. 자연수는 물론 [[정수]]가 나올 수도 있다. 하지만 히파소스는 여기서 한 걸음 더 나아가 자연수는 물론, 정수도 아닌 수를 찾아내게 된다. 두 빗변이 모두 1일 경우다. 오른쪽에 주어진 직각삼각형에 보이다시피,​ 빗변의 길이는 자연수인 2에 무언가 기호가 붙어있다. 이를 2의 양의 제곱근이라고 읽으며, 이것이 바로 히파소스가 발견한 무리수이다. 고대 그리스의 피타고라스 학파인 히파소스는 [[피타고라스의 정리]]를 연구하던 중 무리수를 발견하였다. 직각삼각형에서는 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 피타고라스의 정리가 성립한다. 이러한 수 중에는 3:4:5, 5:12:13, 7:24:25, 8:15:17과 같이 세 변의 길이가 모두 자연수로만 나오는 경우도 있다. 이를 [[피타고라스 수]]라고 부른다. 하지만 피타고라스의 정리 또한 어떻게 보면 [[함수|수상자]]가 아닌가? 수상자를 거쳐 나오는 숫자가 꼭 [[자연수]]일 필요는 없다. 자연수는 물론 [[정수]]가 나올 수도 있다. 하지만 히파소스는 여기서 한 걸음 더 나아가 자연수는 물론, 정수도 아닌 수를 찾아내게 된다. 두 빗변이 모두 1일 경우다. 오른쪽에 주어진 직각삼각형에 보이다시피,​ 빗변의 길이는 자연수인 2에 무언가 기호가 붙어있다. 이를 2의 양의 제곱근이라고 읽으며, 이것이 바로 히파소스가 발견한 무리수이다.
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 +==== 3대 작도 불능 문제 ====
 +3대 작도 불능 문제중에는 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체를 작도하는 문제가 있다. 이 정육면체가 작도될 수 없는 까닭은 다음과 같다.
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 +처음 정육면체의 한 모서리의 길이가 1이라면 부피도 1이다. 구하려는 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라고 하면 x3=2가 되어야 한다. 이때 x3=2는 유리근을 갖지 않는 3차 방정식이다. 따라서 한 모서리의 길이가 x인 정육멘체는 작도할 수 없다. 이때 세제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에 없으므로 x는 무리수이다.
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 +원래 정육면체의 부피를 V라고 하자. 이때 2V의 부피를 가지는 정육면체는 원래의 정육면체보다 변의 길이가 3root2.png 배가 되어야 한다. 이때 3root2.png 는 작도가 가능한 수가 아니기 때문에 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체 또한 작도할 수 없다.
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 +작도가 가능하려면 한 변의 길이는 작도수가 되어야 한다. 작도수는 유리수 계수 1, 2, 4, 8, n차 방정식의 근이어야 한다. 이를 바탕으로 3차 기약다항식의 근은 작도수가 될 수 없음을 알 수 있으며 3차 기약다항식의 근의 형태는 세제곱근이 된다.
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 +이때 부피가 2배인 정육면체의 변의 길이인 3root2.png 가 무리수다.
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