무리수

무리수(無理數)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 의미한다. 유리수를 제외한 실수이며 즉, 순환하지 않는 무한소수이다.

발견

피타고라스의 정리

고대 그리스의 피타고라스 학파인 히파소스는 피타고라스의 정리를 연구하던 중 무리수를 발견하였다. 직각삼각형에서는 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 피타고라스의 정리가 성립한다. 이러한 수 중에는 3:4:5, 5:12:13, 7:24:25, 8:15:17과 같이 세 변의 길이가 모두 자연수로만 나오는 경우도 있다. 이를 피타고라스 수라고 부른다. 하지만 피타고라스의 정리 또한 어떻게 보면 수상자가 아닌가? 수상자를 거쳐 나오는 숫자가 꼭 자연수일 필요는 없다. 자연수는 물론 정수가 나올 수도 있다. 하지만 히파소스는 여기서 한 걸음 더 나아가 자연수는 물론, 정수도 아닌 수를 찾아내게 된다. 두 빗변이 모두 1일 경우다. 오른쪽에 주어진 직각삼각형에 보이다시피, 빗변의 길이는 자연수인 2에 무언가 기호가 붙어있다. 이를 2의 양의 제곱근이라고 읽으며, 이것이 바로 히파소스가 발견한 무리수이다.

3대 작도 불능 문제

3대 작도 불능 문제중에는 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체를 작도하는 문제가 있다. 이 정육면체가 작도될 수 없는 까닭은 다음과 같다.

처음 정육면체의 한 모서리의 길이가 1이라면 부피도 1이다. 구하려는 정육면체의 한 모서리의 길이를 x라고 하면 x3=2가 되어야 한다. 이때 x3=2는 유리근을 갖지 않는 3차 방정식이다. 따라서 한 모서리의 길이가 x인 정육멘체는 작도할 수 없다. 이때 세제곱해서 2가 되는 수는 유리수 중에 없으므로 x는 무리수이다.

원래 정육면체의 부피를 V라고 하자. 이때 2V의 부피를 가지는 정육면체는 원래의 정육면체보다 변의 길이가 3root2.png 배가 되어야 한다. 이때 3root2.png 는 작도가 가능한 수가 아니기 때문에 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체 또한 작도할 수 없다.

작도가 가능하려면 한 변의 길이는 작도수가 되어야 한다. 작도수는 유리수 계수 1, 2, 4, 8, n차 방정식의 근이어야 한다. 이를 바탕으로 3차 기약다항식의 근은 작도수가 될 수 없음을 알 수 있으며 3차 기약다항식의 근의 형태는 세제곱근이 된다.

이때 부피가 2배인 정육면체의 변의 길이인 3root2.png 가 무리수다.